問題を解くための最低限の数学力を築く方法。

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こんにちは、林です!

今日は、数学の初歩的な勉強方法について。

数学がどうしても苦手な人って、内容が理解できないというよりは「そもそもどのように勉強したらいいのかわからない」という人が結構多いんですよね。

そういう人に対して、問題の解説ばかり教えてもあまり意味がありません。

数学はいかにして勉強する科目なのか。

その大元を理解してもらう必要があります。

そこで今回は、問題を解くための最低限の数学力の鍛え方を説明します。

定理や公式は、「証明」・「意味」を忘れずに。

数学の受験勉強をするにあたり、初めは教科書や参考書を読んで、その後に問題演習をする、というスタイルが普通でしょう。

私もだいたいそんな感じでした。

教科書や参考書を読むときも、いくつかコツがあります。

定理や公式は、かならずその証明も身につける、というのが一つ目のコツです。

証明の重要性

受験数学ではいろいろな定理・公式が現れます。

三平方の定理のような簡単なものから平均値の定理のような(実は)難しいものまで、分野もさまざまです。

そうした定理や公式は当然ながら入試でも必要とされますし、皆さんの学校の定期試験でもそれにまつわる問題が必ず出題されることでしょう。

勉強時間に余裕が無いときなどは特に、そうした定理の数式だけを頭に無理やり叩き込みたくなるものです。

実際、そのほうが目先のテストでは点数が少しは上がるかもしれません。

しかし、今までもたくさんお話したように、定理や公式は導出も含めて身につけないと何の意味もありません。

目先の試験で点を取れることと、大学入試で点を取れることは別物です。

言うまでもないことですが、大学入試の数学は難しいです。

難しいというのは、小難しい計算が出題されるという意味ではなく、思考の過程が平易ではない、ということです。

当然、教科書に載っている定理を使ってすぐに答えが出るようなものではありません。

長い過程の中で、自分が知っている定理や公式、その他知識をフル活用してようやく答えにたどり着く、という感じです。

そのため、ただ定理を丸暗記しているだけだと全く太刀打ちできません。

「どこでこの定理を使えばいいの?」と困りきってしまい、それまでです。

抽象的な話になってしまいますが、大学入試では、自分が知っていることをどう活用していくかがカギになります。

どれほど多くの知識があるか、なんていうことははっきり言ってどうでもよい。

定理や公式の証明を学ぶことで、それを証明する「思考の過程」を追体験することができます。

たとえば三平方の定理だったら、普通は計算できなさそうな斜めの線分の長さを計算できるようにする工夫が理解できるのです。

こうした思考の過程は、実際に入試問題を解く際に絶対に重要になります。

また、定理の結果のみを学んでそれを振り回しているだけだと、その定理をどういう問題で用いればよいのか、あるいは使用する際の条件はなにか、などが分からなくなっています。

しかし導出もちゃんと学べば、その定理の成立背景を理解できるため、どんな時でも正しく定理を用いることができるのです。

証明を学ぶのは時間の無駄だ、と思っていたとしたら、その考えはすぐに改めてください

長い目で見れば、証明もしっかり身に付けたほうが絶対に得ですし、結果としてそのほうが合格への近道になります。

では、証明を学ぶにはどうすればよいのでしょうか。

初めて見た定理を、いきなり補助なしで証明するのはものすごく大変なことです。

数学が得意な人ならまだなんとかなるのかもしれませんが、苦手な人・嫌いな人にとってそれは苦痛でしかないでしょう。

もちろん、補助なしで自分一人の力で証明するのは大変重要なことでそれも欠かせないのですが、そればかりやっていると精神的にツラいですし、数学がより嫌いになってしまいます。

ですから初めのうちは、教科書に書いてある証明をよく読んで、それを丸写ししてみるのも悪くないのではないか、と私は思うのです。

ノートなどに、自分では思いつかなかった証明等を写してみるのです。

ただ、この写すという作業は、証明そのものの丸暗記を目的としているのではありません。

あくまで、どういう流れでその証明ができるのかを感じ取ってもらうのが狙いです。

今まで何度も書いてきたことですが、目で文字を追っているだけだと頭に入りにくいので、実際に手で書いてみよう、という程度の話です。

ですから、教科書や参考書に書いてある証明の一言一句を暗記しよう、などとは間違っても思わないでください。

もし証明の暗記に走ってしまうおそれがあるなら、あえて細かい言葉遣いを自分なりに変えてみるのも良いと思います。

定理・公式の意味を知る

二つ目のポイントは、その定理や公式がどういう意味を持っているのか、抽象的にまとめてみる、ということです。

たとえば三平方の定理だったら、「水平な長さと鉛直の長さから、斜めの長さを求めることができる」といった風にまとめることができますね。

他にも、余弦定理は「二辺とその間の角が分かれば、残りの一辺の長さが分かる」というように整理できます。

こうすることで、どういう時に定理を使えば良いのかが明確になり、試験のときでも適切に利用することができます。

こうこう努力をしないと、その定理がもつ意味が不明瞭のままとなり、簡単な問題は解けても複雑な問題はさっぱり、ということになりかねません。

自分の言葉で意味をまとめて、それを教科書や参考書の該当ページに書き込んでみると、あとで読み返したときに大変便利です。

問題演習について

教科書や参考書を読んだ後、多くの人は問題演習をしてみるはずです。

たとえば教科書だったら、まず解説付きの例題があって、その下に「練習問題」的なものがあるはずです。

そういったものを解くときのコツについてお話しします。

もちろん人によりいろいろなスタイルがあると思うのですが、ここでは私がおすすめするやり方を取り上げます。

いきなり自力でやってみる

例題を読んで勉強した後、しばらく時間をおいてから、例題を見ないで(隠して)練習問題を解いてみましょう。

いきなり補助輪無しです。

頑張って例題で学んだことを思い出して、うまく活用してみるのです。

しばらく時間をおくのが大事で、例題を読んだ直後に練習問題を解いてしまうと、例題の内容がまだ頭に残ってしまっているので、その解答をそのまま流用できてしまうからです。

それは解答を暗記していたおかげで解けただけであり、その問題を本当に理解していることにはなりません。

ある程度時間が経ってから問題を解いてみることで、重要な箇所が頭に入っているか否かを確認することができるのです。

ただ、いきなり例題を見ない、つまりノーヒントの状態で解くのは簡単なことではありません。

時にはわからないこともあるでしょう。

しばらく一人で考えても全く分からなかったら、今度は例題を見てみます。

例題の内容をうまく活用して、頑張って答案を書いてみるのです。

それもできなければ、解答を見ても良いですし、先生や友達に聞いてみるのもアリでしょう。

ただ、ノーヒントで解けなかった問題にはマークをつけておいて、後日またノーヒントで解けるか試してみるのは忘れずに。

これも「後日」やるのが重要で、直後に解き直すのは解答の内容を覚えている状態なので無意味です。

こうして、何日もかけて、解けない問題をどんどん減らしていきます

短時間ですべて片付けようとしても、残念ながらうまくいきません。

解答を暗記していない状態で解いてみるのが大切ですから、これは忘れないようにしてください。

難しめの問題へ

教科書の練習問題レベルができるようになったら、次はやや難しめの演習問題に取り組むのが自然ですよね(以下単に「演習問題」と呼ぶことにします)。

たとえば教科書の章末にある章末問題などです。

難易度が上がるというのはどういうことかというと、計算が難しくなるというわけではなく、自分の知識を活用する方法が難しくなる、ということです。

たとえば微分だったら、「次の関数を微分せよ。」という問題よりも「次の関数の極値を求めよ。」という問題のほうが高度で難しい、というのは皆さんもお分かりだと思います。

微分せよといわれたらそのまま微分すればいいだけなので楽ですが、「極値を求めよ」と指示されたときは、極値を求めるためには微分をしなければならない、と自分の頭で考えなければならないからです。

このように、数学の問題における難易度とは、「基本的に知識を活用する方法の難しさ」だといえるでしょう。

演習問題の解き方ですが、まずは先ほど同様、何も見ずに挑戦してみましょう。

学習した内容を思い出して自分なりに足掻いてみるのです。

解ける問題もあれば解けない問題もあることでしょう。

難しめのレベルの問題を解くにあたり重要なのは、すぐに解答解説を見ない、ということです。

大学入試ほどのレベルになると、当然ながらパッと見で解けることはほとんどありません。しばらく試行錯誤してようやく「この方法ならいける!」という風に解法にたどり着くのです。

試行錯誤なしにすんなり答えにたどり着けることはなかなかないもので、忍耐力が必要になります。

演習問題を解くとき、解けなかったからといってすぐに解答解説を見てしまうと、自分の頭で試行錯誤する機会が失われてしまいます。

すると、いざ過去問演習や模試受験をしたときに、解けない問題があるとすぐに諦めてしまう癖がついてしまいます。

もちろん、どうしても解けない問題・解けなさそうな問題があったときはそれを飛ばすのも手ですが、あまり早い段階で諦めてしまうと、すこし試行錯誤すれば解ける問題も手放してしまうことになります。

入試問題レベルになると一門あたりにかけられる時間も長いですから、忍耐力を身につけることは大変重要です。

しばらく試行錯誤し、それでも解けなかったら、仕方がないので解答解説を読みましょう。

その時、解説をノートに写してみると良いと思います。

手を動かしたほうがよいのは何度も述べているとおりです。そして、解けなかった問題は時間をおいてまた解きなおしてみてください。

こうして、解けない問題をどんどん減らしていくのです。

ざっくりまとめると、こんな感じ。

長くなってしまったんで、ここまでの内容をまとめておきます。

  • 教科書に出てくる定理や公式は、結果だけを頭に詰め込むのではなく、その導出まできっちり理解できるようにしましょう。
  • 次に例題をよく読んで、必要に応じてノートに写してみます。練習問題を解くときは、まず自力で考え、無理だったら例題を見ながら解いてみましょう。
  • 例題を見た場合、後日またノーヒントで解きなおします。
  • 演習問題も大体同様で、まずはノーヒント、それでだめなら解答解説を見て、後日また解きなおします。

特に演習問題を解く段階では、試行錯誤する忍耐力を身につけるのが非常に重要なので、すぐに解答解説を見ないで、しばらくは自力で足掻いてみるといいと思います。

その足掻きの時間が長ければ長いほど、後の大きな忍耐力につながります。

補足:新しい問題集の購入

補足的な話ですが、問題演習をする際に同じ問題集を何周もしたほうがいいのか、新しい問題集を購入して取り組んだほうがいいのかというのは結構難しい問題だと思います。

私もこれについて受験生時代に結構悩みました。

私なりの結論としては、過去にやった問題の解法が頭に残ってしまうタイプの人は新しい問題集を購入すべきです。

そうでない場合、つまり以前解いた問題の内容があまり頭に残らないタイプの人は、同じ問題集を何度もやると良いと思います。

注意点としては、今やっている問題集の出来が不完全なのに新しい問題集に取り組んでしまうことです。

それでは学習効果がありませんし、お金の無駄でもあります。

ただ、何度も同じ問題を解いていてもあまり楽しくないので、一つの問題集がだいたい完璧になったら新しいものに取り組むといいと思います。

まとめ

問題を解くための最低限の数学力を身につける方法についてお話ししました。

とにかく大切なのは、

  • 基礎をおろそかにしないこと
  • 独力で解くことを重視すること

です。

焦って結果を求めようとするあまり、基礎を省略して公式・定理の暗記に走ってしまう生徒は非常に多いですが、それは明らかな間違いです。

そういう時こそ、公式・定理の証明は欠かさずに勉強した方が却って効率的です。

まさに「急がば回れ」ですね。

数学は、数日・数週間で圧倒的に成長できる科目ではありません。

だからこそ、根気よく丁寧に勉強していくことで、大きな力が身につくのです。

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